数值计算与优化
把数值计算与优化组织成可从定义、推导走到计算和应用的主线。
阅读起点
学习前先阅读：线性代数 学习路线、微积分 学习路线、统计学 学习路线。
全书顺序
本书按知识依赖组织。主线先建立可运行的共同模型，再进入机制、工程边界和生产约束；维护与前沿内容明确标注，不改变主线的学习顺序。
第1章｜浮点运算与误差分析
理解本章浮点运算与误差分析的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 浮点数表示：IEEE 754 与机器精度：理解浮点数表示：IEEE 754 与机器精度的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 舍入误差与误差传播：绝对误差与相对误差：理解舍入误差与误差传播：绝对误差与相对误差的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 条件数：问题的敏感性：理解条件数：问题的敏感性的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 数值稳定性：向后误差与前向误差：理解数值稳定性：向后误差与前向误差的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第2章｜线性方程组数值解法
理解本章线性方程组数值解法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 高斯消元与 LU 分解：直接求解：理解高斯消元与 LU 分解：直接求解的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- Cholesky 分解与 QR 分解：利用矩阵结构：理解Cholesky 分解与 QR 分解：利用矩阵结构的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 迭代法：Jacobi、Gauss-Seidel 与 SOR：理解迭代法：Jacobi、Gauss-Seidel 与 SOR的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- Krylov 子空间方法：共轭梯度与 GMRES：理解Krylov 子空间方法：共轭梯度与 GMRES的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 稀疏矩阵与预条件：加速大规模系统：理解稀疏矩阵与预条件：加速大规模系统的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第3章｜插值、逼近与数值积分
理解本章插值、逼近与数值积分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 多项式插值：拉格朗日与牛顿形式：理解多项式插值：拉格朗日与牛顿形式的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 样条插值：分段多项式与光滑性：理解样条插值：分段多项式与光滑性的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 最小二乘拟合：超定系统与正规方程：理解最小二乘拟合：超定系统与正规方程的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 数值积分：梯形、Simpson 与自适应求积：理解数值积分：梯形、Simpson 与自适应求积的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 高斯求积：正交多项式与最优节点：理解高斯求积：正交多项式与最优节点的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第4章｜微分方程数值解
理解本章微分方程数值解的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 欧拉法与改进欧拉法：一阶与二阶方法：理解欧拉法与改进欧拉法：一阶与二阶方法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 龙格-库塔方法：四阶与自适应步长：理解龙格-库塔方法：四阶与自适应步长的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 多步法：Adams 与 BDF：理解多步法：Adams 与 BDF的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 刚性方程与隐式方法：稳定性区域：理解刚性方程与隐式方法：稳定性区域的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 边值问题：打靶法与有限差分：理解边值问题：打靶法与有限差分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第5章｜无约束优化
理解本章无约束优化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 优化基础：一阶与二阶必要条件：理解优化基础：一阶与二阶必要条件的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线搜索与步长选择：Armijo、Wolfe 条件：理解线搜索与步长选择：Armijo、Wolfe 条件的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 梯度下降与动量：一阶方法：理解梯度下降与动量：一阶方法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 牛顿法与拟牛顿法：BFGS 与 L-BFGS：理解牛顿法与拟牛顿法：BFGS 与 L-BFGS的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 共轭梯度与信赖域：二次收敛与全局收敛：理解共轭梯度与信赖域：二次收敛与全局收敛的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第6章｜约束优化与应用（第1段）
理解本章约束优化与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- KKT 条件：等式与不等式约束的必要条件：理解KKT 条件：等式与不等式约束的必要条件的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 拉格朗日乘数法与罚函数：转化为无约束问题：理解拉格朗日乘数法与罚函数：转化为无约束问题的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线性规划：单纯形法与内点法：理解线性规划：单纯形法与内点法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 二次规划与序列二次规划：SQP：理解二次规划与序列二次规划：SQP的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 凸优化：凸集、凸函数与对偶：理解凸优化：凸集、凸函数与对偶的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 机器学习中的优化：SGD、Adam 与自适应方法：理解机器学习中的优化：SGD、Adam 与自适应方法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第7章｜约束优化与应用（第2段）
理解本章约束优化与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 全局优化与启发式：模拟退火、遗传算法与贝叶斯优化：理解全局优化与启发式：模拟退火、遗传算法与贝叶斯优化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 条件数：理解条件数的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 数值稳定性：理解数值稳定性的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 高斯消元：理解高斯消元的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- LU 分解：理解LU 分解的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- Cholesky 分解：理解Cholesky 分解的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第8章｜约束优化与应用（第3段）
理解本章约束优化与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线搜索：理解线搜索的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 牛顿法：理解牛顿法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 拟牛顿法：理解拟牛顿法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- Jacobi 与 Gauss-Seidel：理解Jacobi 与 Gauss-Seidel的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- Krylov 子空间方法：理解Krylov 子空间方法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 预条件：理解预条件的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第9章｜约束优化与应用（第4段）
理解本章约束优化与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 梯度下降：理解梯度下降的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 共轭梯度：理解共轭梯度的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- KKT 条件：理解KKT 条件的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 拉格朗日乘数法：理解拉格朗日乘数法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 罚函数：理解罚函数的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线性规划：理解线性规划的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第10章｜约束优化与应用（第5段）
理解本章约束优化与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 二次规划：理解二次规划的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 样条插值：理解样条插值的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 最小二乘：理解最小二乘的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 龙格-库塔：理解龙格-库塔的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 自适应步长：理解自适应步长的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 刚性方程：理解刚性方程的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第11章｜约束优化与应用（第6段）
理解本章约束优化与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 凸优化：理解凸优化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 凸函数：理解凸函数的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 对偶：理解对偶的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 内点法：理解内点法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 机器学习优化：理解机器学习优化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第12章｜打开全书导读
理解本章打开全书导读的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 开始第一节：理解开始第一节的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 全局优化：理解全局优化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 对偶理论：理解对偶理论的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
阅读边界
本页是学习路线和专题入口，不替代专题笔记中的机制解释、可运行示例和练习。笔记尚未完成的专题会先显示为占位页；已有经验的读者可以跳到具体章节，再按前置关系回补。
路线状态
本路线的目录已经纳入路线架构，正文笔记仍处于占位或待审查状态。