微积分

把微积分组织成可从定义、推导走到计算和应用的主线。

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先从本页第一章开始；如果对应概念已经熟悉，可以从目录中选择需要补齐的章节。

全书顺序

本书按知识依赖组织。主线先建立可运行的共同模型，再进入机制、工程边界和生产约束；维护与前沿内容明确标注，不改变主线的学习顺序。

第1章｜函数、极限与连续性

理解本章函数、极限与连续性的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 函数与图像：定义域、值域与变换：理解函数与图像：定义域、值域与变换的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 极限：趋近而不到达：理解极限：趋近而不到达的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 极限的计算：代入、夹逼与洛必达预备：理解极限的计算：代入、夹逼与洛必达预备的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 连续性：极限值等于函数值：理解连续性：极限值等于函数值的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 渐近线与无穷大：趋向无穷时的行为：理解渐近线与无穷大：趋向无穷时的行为的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第2章｜导数与微分

理解本章导数与微分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 导数的定义：切线斜率与瞬时速率：理解导数的定义：切线斜率与瞬时速率的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 求导法则：和、积、商与链式法则：理解求导法则：和、积、商与链式法则的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 隐函数与参数方程求导：dy/dx 的不同形式：理解隐函数与参数方程求导：dy/dx 的不同形式的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 高阶导数：加速度与凹凸性：理解高阶导数：加速度与凹凸性的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 相关变化率：连接相关变量的变化：理解相关变化率：连接相关变量的变化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第3章｜导数的应用

理解本章导数的应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 极值与临界点：最大值与最小值：理解极值与临界点：最大值与最小值的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 中值定理：Rolle、Lagrange 与 Cauchy：理解中值定理：Rolle、Lagrange 与 Cauchy的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 单调性与凹凸性：一阶导与二阶导的几何意义：理解单调性与凹凸性：一阶导与二阶导的几何意义的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 曲线描绘：渐近线、拐点与完整图像：理解曲线描绘：渐近线、拐点与完整图像的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 优化问题：最大化与最小化实际问题：理解优化问题：最大化与最小化实际问题的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
6. 洛必达法则与泰勒多项式：未定式与逼近：理解洛必达法则与泰勒多项式：未定式与逼近的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第4章｜积分

理解本章积分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 不定积分：反导数与积分常数：理解不定积分：反导数与积分常数的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 定积分：黎曼和与面积：理解定积分：黎曼和与面积的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 微积分基本定理：导数与积分的对偶：理解微积分基本定理：导数与积分的对偶的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 积分技巧：换元、分部与部分分式：理解积分技巧：换元、分部与部分分式的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 反常积分：无界与无穷区间：理解反常积分：无界与无穷区间的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第5章｜积分的应用与级数

理解本章积分的应用与级数的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 面积与体积：旋转体与截面积分：理解面积与体积：旋转体与截面积分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 弧长与曲面面积：参数化与积分：理解弧长与曲面面积：参数化与积分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 数列与级数：收敛与发散：理解数列与级数：收敛与发散的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 级数收敛性判别：比较、比值与根值判别法：理解级数收敛性判别：比较、比值与根值判别法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 幂级数与泰勒级数：函数的多项式展开：理解幂级数与泰勒级数：函数的多项式展开的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第6章｜多元微积分

理解本章多元微积分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 多元函数：定义域、图像与等高线：理解多元函数：定义域、图像与等高线的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 偏导数与全微分：沿坐标轴的变化率：理解偏导数与全微分：沿坐标轴的变化率的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 链式法则与方向导数：复合与任意方向：理解链式法则与方向导数：复合与任意方向的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 梯度、散度与旋度：向量微分算子：理解梯度、散度与旋度：向量微分算子的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 多元极值与拉格朗日乘数：约束优化：理解多元极值与拉格朗日乘数：约束优化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
6. 二重积分与三重积分：累次积分与变量替换：理解二重积分与三重积分：累次积分与变量替换的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
7. 线积分与面积分：沿曲线与曲面的积分：理解线积分与面积分：沿曲线与曲面的积分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
8. 格林、斯托克斯与散度定理：边界与内部的联系：理解格林、斯托克斯与散度定理：边界与内部的联系的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第7章｜微分方程与应用（第1段）

理解本章微分方程与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 一阶常微分方程：分离变量与线性方程：理解一阶常微分方程：分离变量与线性方程的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 二阶线性微分方程：齐次与非齐次：理解二阶线性微分方程：齐次与非齐次的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 拉普拉斯变换：从微分方程到代数方程：理解拉普拉斯变换：从微分方程到代数方程的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 微分方程系统与相平面：多变量动态：理解微分方程系统与相平面：多变量动态的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 偏微分方程入门：热方程、波动方程与拉普拉斯方程：理解偏微分方程入门：热方程、波动方程与拉普拉斯方程的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
6. 数值方法：欧拉法、龙格-库塔与有限差分：理解数值方法：欧拉法、龙格-库塔与有限差分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第8章｜微分方程与应用（第2段）

理解本章微分方程与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 极限定义：理解极限定义的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 极限计算：理解极限计算的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 导数定义：理解导数定义的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 求导法则：理解求导法则的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 链式法则：理解链式法则的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
6. Rolle 定理：理解Rolle 定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第9章｜微分方程与应用（第3段）

理解本章微分方程与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. Lagrange 中值定理：理解Lagrange 中值定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 泰勒定理：理解泰勒定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 定积分：理解定积分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 微积分基本定理：理解微积分基本定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 积分技巧：理解积分技巧的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
6. 面积与体积：理解面积与体积的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第10章｜微分方程与应用（第4段）

理解本章微分方程与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 弧长：理解弧长的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 梯度：理解梯度的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 方向导数：理解方向导数的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 多重积分：理解多重积分的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 变量替换：理解变量替换的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
6. 一阶常微分方程：理解一阶常微分方程的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第11章｜微分方程与应用（第5段）

理解本章微分方程与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 线性方程理论：理解线性方程理论的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 相平面：理解相平面的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 稳定性：理解稳定性的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 数值方法：理解数值方法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 梯度、散度与旋度：理解梯度、散度与旋度的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
6. 格林定理：理解格林定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第12章｜微分方程与应用（第6段）

理解本章微分方程与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 斯托克斯定理：理解斯托克斯定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 散度定理：理解散度定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 极限的 ε-δ 定义：理解极限的 ε-δ 定义的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

第13章｜打开全书导读

理解本章打开全书导读的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

1. 开始第一节：理解开始第一节的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
2. 多元函数：理解多元函数的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
3. 二阶线性微分方程：理解二阶线性微分方程的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
4. 拉普拉斯变换：理解拉普拉斯变换的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
5. 偏微分方程：理解偏微分方程的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。

阅读边界

本页是学习路线和专题入口，不替代专题笔记中的机制解释、可运行示例和练习。笔记尚未完成的专题会先显示为占位页；已有经验的读者可以跳到具体章节，再按前置关系回补。

路线状态

本路线的目录已经纳入路线架构，正文笔记仍处于占位或待审查状态。