线性代数
把线性代数组织成可从定义、推导走到计算和应用的主线。
阅读起点
先从本页第一章开始；如果对应概念已经熟悉，可以从目录中选择需要补齐的章节。
全书顺序
本书按知识依赖组织。主线先建立可运行的共同模型，再进入机制、工程边界和生产约束；维护与前沿内容明确标注，不改变主线的学习顺序。
第1章｜向量、矩阵与线性方程组
理解本章向量、矩阵与线性方程组的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 向量与线性组合：加法、数乘与张成：理解向量与线性组合：加法、数乘与张成的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 矩阵与线性变换：乘法的几何意义：理解矩阵与线性变换：乘法的几何意义的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线性方程组与消元：从增广矩阵到行阶梯形：理解线性方程组与消元：从增广矩阵到行阶梯形的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 解的结构：特解与零空间：理解解的结构：特解与零空间的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第2章｜向量空间与子空间
理解本章向量空间与子空间的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 向量空间：公理、例子与验证：理解向量空间：公理、例子与验证的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线性独立与张成：最少的生成元：理解线性独立与张成：最少的生成元的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 基与维数：坐标与同构：理解基与维数：坐标与同构的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 四个基本子空间：列空间、零空间、行空间与左零空间：理解四个基本子空间：列空间、零空间、行空间与左零空间的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 秩与维数定理：像与核的关系：理解秩与维数定理：像与核的关系的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第3章｜正交性与投影
理解本章正交性与投影的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 内积与长度：点积、夹角与 Cauchy-Schwarz 不等式：理解内积与长度：点积、夹角与 Cauchy-Schwarz 不等式的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 正交向量与正交基：Gram-Schmidt 正交化：理解正交向量与正交基：Gram-Schmidt 正交化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 投影与最小二乘：找最接近的向量：理解投影与最小二乘：找最接近的向量的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 正交矩阵与 QR 分解：保长度的变换：理解正交矩阵与 QR 分解：保长度的变换的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第4章｜行列式与特征值
理解本章行列式与特征值的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 行列式：体积、行列式公式与性质：理解行列式：体积、行列式公式与性质的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 特征值与特征向量：不变方向：理解特征值与特征向量：不变方向的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 对角化：相似变换与谱：理解对角化：相似变换与谱的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 复特征值与幂次：旋转、缩放与极限行为：理解复特征值与幂次：旋转、缩放与极限行为的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第5章｜对称矩阵与二次型
理解本章对称矩阵与二次型的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 对称矩阵与谱定理：实特征值与正交特征向量：理解对称矩阵与谱定理：实特征值与正交特征向量的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 正定矩阵与二次型：能量与优化：理解正定矩阵与二次型：能量与优化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 奇异值分解（SVD）：任意矩阵的最佳分解：理解奇异值分解（SVD）：任意矩阵的最佳分解的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 伪逆与低秩逼近：压缩与去噪：理解伪逆与低秩逼近：压缩与去噪的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第6章｜数值方法与应用（第1段）
理解本章数值方法与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 数值稳定性：条件数、舍入误差与扰动分析：理解数值稳定性：条件数、舍入误差与扰动分析的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 迭代方法：Jacobi、Gauss-Seidel 与共轭梯度：理解迭代方法：Jacobi、Gauss-Seidel 与共轭梯度的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 主成分分析（PCA）：降维与数据解释：理解主成分分析（PCA）：降维与数据解释的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 图与网络：邻接矩阵、Laplacian 与 PageRank：理解图与网络：邻接矩阵、Laplacian 与 PageRank的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线性规划与对偶：单纯形法与内点法：理解线性规划与对偶：单纯形法与内点法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 解的结构：理解解的结构的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第7章｜数值方法与应用（第2段）
理解本章数值方法与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 秩与维数定理：理解秩与维数定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线性变换：理解线性变换的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 四个基本子空间：理解四个基本子空间的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 行列式：理解行列式的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 特征值与特征向量：理解特征值与特征向量的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 对角化条件：理解对角化条件的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第8章｜数值方法与应用（第3段）
理解本章数值方法与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 复特征值：理解复特征值的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 内积与长度：理解内积与长度的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- Gram-Schmidt 正交化：理解Gram-Schmidt 正交化的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 投影与最小二乘：理解投影与最小二乘的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- QR 分解：理解QR 分解的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 奇异值分解：理解奇异值分解的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第9章｜数值方法与应用（第4段）
理解本章数值方法与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 正定性：理解正定性的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- Cholesky 分解：理解Cholesky 分解的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 条件数：理解条件数的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 伪逆：理解伪逆的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 最小二乘：理解最小二乘的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 数值稳定性：理解数值稳定性的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第10章｜数值方法与应用（第5段）
理解本章数值方法与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 迭代方法：理解迭代方法的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 主成分分析：理解主成分分析的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 图 Laplacian：理解图 Laplacian的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 线性规划：理解线性规划的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 基与坐标：理解基与坐标的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 相似变换：理解相似变换的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
第11章｜数值方法与应用（第6段）
理解本章数值方法与应用的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 谱定理：理解谱定理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- SVD：理解SVD的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
- 向量空间公理：理解向量空间公理的核心模型、常见操作和适用边界，并能据此判断下一步该查什么或如何验证。
阅读边界
本页是学习路线和专题入口，不替代专题笔记中的机制解释、可运行示例和练习。笔记尚未完成的专题会先显示为占位页；已有经验的读者可以跳到具体章节，再按前置关系回补。
路线状态
本路线的目录已经纳入路线架构，正文笔记仍处于占位或待审查状态。